De vlieg en de spin: oplossing

Er zijn diverse oplossingsmogelijkheden te bedenken.

De eenvoudigste is de volgende. Projecteer de vlakken van de balk in hetzelfde vlak en trek dan een lijn van de vlieg naar de spin (een rechte lijn is immers de korste afstand). Dit geeft (zie figuur)

mieropl3
De afstand wordt dan de vierkantswortel van ((10+2+1)^2 + (3+2)^2) = vierkantswortel (169+25) = vierkantswortel 194 = 13,92…

Een moeilijkere oplossing is de volgende (zie figuur) (met dank aan Hans Bellen voor het idee)

mieropl2

De weg loopt langs rechte hoeken. Daarom geldt het volgende:
y/1 = x/(2-y) ==> y=2/(x+1)
z/(10-x) = (3-z)/2 ==> z=(30-3*x)/(12-x)

De totale afstand moet minimaal zijn want een belletje doet rinkelen: de afgeleide moet dus nul zijn.

2013-05-16_15h48_13

Grafiek van deze functie ziet er zo uit:

grafiek

De afgeleide ziet er als volgt uit:

2013-05-17_09h14_23

Je kan dit laten berekenen op http://www.derivative-calculator.net: Geef als functie sqrt(1+(2/(x+1))^2)+sqrt((2-2/(x+1))^2 +x^2)+sqrt((10-x)^2 +((30-3x)/(12-x))^2)+sqrt(4+(3-(30-3x)/(12-x))^2)) in.
Regel : afgeleide vierkantswortel(f(x)) = f'(x)/vierkantswortel (f(x)

Grafiek van de afgeleide ziet er als volgt uit:

afgeleidegrafiek

Deze functie is gelijk aan nul voor x=4.2 (tel maar na). Je kan dit niet analytisch oplossen.
De minimum waarde van f(x) = 13,928…

Je kan dit ook in excel ingeven en dan de solver van excel gebruiken (met dank aan Frederik Dejaeghere):
File, Options, Add-ins. Beneden naast Manage kies je “Excel Add-Ins” dan knop je “Go”.

mierop1

~ door wernermaes op 16 mei 2013.

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s

 
%d bloggers op de volgende wijze: